個人的な経験（というか経験した通りのこと）を話します。その方とは今はいろいろと予定だの何だの問題が生じてあまり接点が取れていませんがとりあえずそれでもかなり（客観的にも）仲は良くなっていたので参考になれば。

まず始まりは色々ありましたが、あるときに相手からある本を貸してもらいました。それはシリーズ物で、数巻だけ昔に読んだことがあるものでしたが、かなり冊数が多かったので、何度も顔を合わせる機会がありました。貸し借りをするときに、少しの間会話をすることがあり、そのときに、相手が数学を苦手としている、ということを知ります。私は数学が苦手であはありませんので、ツイッターを介して数学を教えるという仲になりました。
ここで言いたいのは、「合わない趣味より合理的なこと」ということです。兎に角、数学を介して、そこそこ話す頻度も増え、夜寝る前に別のこと（どちらもがやっていたスマホゲームの話とか或いは将来の話とかジャンルは様々。ただし、基本はどちらにも共通していることです）をDMなどで話しては日付も変わるころに、「おやすみ」「おやすみ」これが終わりの合図でした。
自分語りのようですがもう少しだけ。
その後、相手も猫が好きと知り、ならば、ということで（もとより猫好きな私は多々野良猫探索をしていたもので野良猫の居場所は詳しかった）、あるときに、野良猫の話を持ちかけて、上手い具合に猫探しに二人で出かけることをしました。何度か繰り返し、或いはテスト前であっても（これも二人で）勉強会をするなど、というところに持ちかけました。
以下少しだけ余談。
これを、ある友人から恋愛相談を受けた際に、もっと細かく、どんなやり取りをしたか、まで語ったところ、「それは君だからできることでそこまで上手く巧みに誘えない」と言われたのですが、実際そんなことはなく、友人も無事に親しくなることができたようです。

本題。
相手の趣味に合わせるとか、話題を持ちかけるとか、そういうことではなくて、（例えば友達としてでも）話していて楽しいこと、これを話すのが一番いいことです。序に言うと、内容の「よさ」は、どちらかというと関係なく（悪さは関係することは明白ですが…）、どんな会話の体制を取るか？　が重要になってきます。相手も話せて自分も話せる、お互いに会話ができている。好きなことを共有できている。こういう会話は、かなり良好な関係に持っていけます。
私の例で言えば、
1 本の話題。相手の方がよく知っている、というもの
2 数学の話。これは自分のほうが知っている。
3 進路やスマホゲームなど。お互いが話せる。
4 猫の話。どちらかと言えば私のほうが知っているがこれは「誘う」ということにつながった。
というように、片一方ばかりがより知っているのではなく、お互いに知っている―よく知っている、という、この関係を入れ替えた話題が続くのがベストではないかと思っています。
そのためにはやはり、相手を（好きなこと嫌いなこと得意なこと苦手なことを含めて）知っていくというのが重要です。
因みに名前を名乗るときは自分から、と言いますが、これは内面にも言えることで、「自分から」が必要になります。ただこれ、あからさまに言うと察されるので自然な流れで、ですが…兎に角、自分をさらけ出せるところでは自然に晒す、というのもポイントです。
とりあえず、基本として、楽しい会話、とにかくこれを心がけるのが一番です。技（技？）としては、自然に相手を褒める（これは相手が容姿に自信のない場合特に有効で、「自分から見れば」という視点で語ることで、嘘偽りにはならないので）とか、語り口の変え方、とか、自己開示の方法、とか、二面を適切な場面で使う、とか、あることにはありますが、やはり非常に誤りやすいものですし、全員に共通するものではありません。とにかく全員に共通するのは、楽しい会話、です。幸せな会話、としてもいいかもしれません。

最後に一つ言うと、「楽しい会話」は前述の通り、「幸せな会話」です。騒ぐとか巫山戯るとかそういうものでも構いませんが、相手がそれをよく思うかが肝心です。或いはそういう会話は、「友達」として認知される原因にもなりかねないので、とりあえずは、おしとやかな会話、を心がけるのが良いかと思われます。

ですよね…それが一番無難だとは思っています。ただ夏休み過ごせる気がしなくて…でも勉強しないとそれこそ先が見えないので頑張ります。
相談に答えてくださってありがとうございます。

友達スタートから始めるにあたって
やはり会話のネタというのが付き物ですが、
こみゃさんなら相手の趣味などに合わせて会話を進める方がいいですか？もしくはそれ以外に話を出していきますか？

実際のことを言えば、本を貸し借りを借（或いはりるだけ？）できている時点でかなり幸せなことです。雑なようですが、この時期に無理に（つまり当たって砕けろ、の意味で）行動するよりは、なるようになる、というくらいでいるのがいいかもしれないです。
告白がすべての始まり方ではありませんし、友達スタート、のような自然な恋愛もありますので…